一、逆微分算子的分解与常系数高阶线性微分方程的求解（论文文献综述）
王昀卓[1]（2021）在《求解偏微分方程的神经网络方法》文中指出偏微分方程是指未知函数及其偏导数的方程,描述自变量,未知函数及未知函数偏导数之间的关系。偏微分方程是描述客观物理世界规律最重要的数学工具之一,其在电磁学、热力学、流体力学、量子力学、几何学等学科中都有重要应用。偏微分方程的精确解难以获取,所以一般考虑获取偏微分方程的近似解。使用神经网络方法求解偏微分方程是近些年来一种新兴的偏微分方程的近似求解方法。相对传统的数值方法,大多数神经网络方法无需网格剖分,这节省了由网格剖分带来的巨大的计算开销和存储开销。此外求解偏微分方程的神经网络方法使用简单,通用性强,因此受到部分科研人员的关注。本文主要涉及求解偏微分方程的神经网络方法的相关研究。具体而言,本文的研究工作如下:1.本文探讨了使用神经网络方法求解偏微分方程的精度一致问题。该问题主要探讨在方程定义域上的误差分布情况。我们通过一个实例说明了使用神经网络方法近似求解偏微分方程存在精度不一致现象。为了缓解该现象,我们提出了区域分解-搜索奇异子域-预测（DSP）框架。本文详细地介绍了DSP框架的实现细节,并分别在Poisson方程,Helmholtz方程和Eikonal方程上完成实验。实验结果表明,我们提出的DSP框架可以很好地缓解使用神经网络方法求解偏微分方程的精度不一致现象。2.本文提出并设计了多网策略。多网策略被用来代替传统的单网策略。相对单网策略,多网策略可以显着提高算法的求解效率。在本文中,我们给出了单网策略和多网策略的定义,并通过时间复杂度分析说明了在一大类偏微分方程上,在模型复杂度接近的情况下,多网策略下的算法效率高于单网策略下的算法效率。此外,多网策略下的算法可以求解分数阶偏微分方程,但单网策略下的算法无法求解这类方程。我们分别在Burgers方程,对流扩散方程,Kdv方程,Allen-Cahn方程和四个空间分数阶偏微分方程上完成了实验,并对比了不同方法在单网策略下和多网策略下的求解精度和效率。实验结果表明,相比于单网策略下的神经网络方法,多网策略下的方法求解效率更高。并且多网策略下的神经网络方法可以求解分数阶偏微分方程。3.本文提出了一种考虑了时空间依赖性的求解偏微分方程的神经网络方法:TD-Net。TD-Net考虑通过在神经网络方法中建模时空间依赖性来提高求解偏微分方程的精度。它通过时间离散化技术建模时间依赖性,通过卷积操作建模空间依赖性。本文详细地介绍了 TD-Net的算法细节,并分析了其时间复杂度。我们分别在Burgers方程,对流扩散方程,Kdv方程,Allen-Cahn方程和四个空间分数阶偏微分方程上完成了实验。实验结果表明,相对于目前最优的求解偏微分方程的神经网络方法,TD-Net在实验方程上取得了有竞争力的求解精度和最快的效率。最后,我们分析了 TD-Net的局限性。
李坤婷[2]（2020）在《中美高中资优生的数学课程设置的比较研究 ——以北京A、B两校和美国托马斯·杰弗逊科学技术高中为例》文中进行了进一步梳理本论文采用文献研究法,首先从整体上回顾了中美两国资优教育和高中资优教育发展,包括资优生的界定和标准、资优教育理论发展及趋势、在资优教育理论指导下的各类实践形式、资优教师发展和政策等方面;在此背景下聚焦到三所案例,通过个案研究和比较研究法对比了中国北京的A、B两所高中与美国托马斯高中资优生的数学课程设置,分析各自的特点,并结合两国资优教育发展研究差异背后的原因,从对比中得到启示。通过研究发现,得出如下结论:在数学课程内容上,中国高中资优生的数学课程以数学竞赛内容为主,锻炼了资优生的独立思考能力和意志力,以大学先修课程内容为辅,一定程度上拓展了资优生的知识深度;美国高中资优生的数学课程以大学先修课程为主,课程数目多,内容更深一些,并将计算机课程纳入数学课程体系中,实现数学和计算机的学科交叉;在数学课程的应用性和计算机的使用方面,较之我国两所学校,美国高中的数学课程设置更注重应用性,强调图形计算器、计算机软件等的使用;在课程框架方面,美国高中数学课程设置的框架连贯性强,讲究每门课程的先后顺序,中国高中的数学课程呈螺旋上升,因此并未做严格规定;在课程实施保障方面,中、美两国这三所高中都联合校外力量共同参与资优生的培养,而美国高中与大学和其他社会团体的合作更为深入。这些比较研究的结论为我国高中资优教育以及高中资优生的数学课程设置提供了以下启示:1.资优教育要重视理论研究,及时与资优教育研究者联系;2.重视资优理论研究中的社会文化背景,扩大资优生的内涵;3.集结校外各类资源,共同承担高中资优教育任务;4.高中可设置更多更丰富的大学数学课程,注重课程体系的系统性和逻辑性;5.计算机课程纳入数学课程体系中,扩大学科交叉,重视数学课程中技术和软件的使用。
戴中林[3]（2016）在《求一类非齐次微分方程特解的待定算子法》文中提出给出了求一类非齐次微分方程L（D）y=f（x）特解的待定微分算子解法.即通过求与方程相关的待定微分算子R（D）,从而得出非齐次微分方程的特解y=R（D）f（x）.
鲁帅[4]（2014）在《再生核方法与其他两种数值方法的结合研究》文中提出近年来,非线性数学物理问题一直是各位专家与学者研究的热点,然而,一般情况下,我们很难得到该类问题的精确解.于是,能否找到该类问题可靠且精确适当的近似解,便成为了该类问题研究领域的关键所在.于此同时,为了解决该类问题,学者们相继提出了一些可靠且适用的数值计算方法,如RKM方法、ADM分解方法以及HPM方法等,运用这些方法我们可以很好地求解该类问题.本文只是在介绍以上三种数值方法的基础上,尝试性地提出了三种用来求解非线性数学物理问题的数值方法,它们分别是改进的ADM分解法、RKM-ADM分解方法以及RKM-HPM分解方法,并把重点放在了讨论结合后方法的理论及应用上.经过对这些方法的阐述和分析,以及算例的比较,我们发现与传统的方法相比较,新的方法不仅可以扩大求解的范围,而且计算量小、精确率高.本文安排如下：第一章为绪论.在本章,我们利用三节分别介绍了三种有效的数值方法的产生、发展与现状,它们分别是ADM分解法、RKM方法以及HPM方法.第二章为三种数值方法的简介.首先,我们介绍了ADM分解方法的基本思想、基本原理以及方法的实现,并提出一种改进的ADM分解方法；其次,我们讨论分析了RKM方法的基本理论；最后,阐述了HPM方法的思想和方法的实现.第三章为RKM方法与两种方法的结合.在这一章,我们系统地介绍并讨论了两种与RKM方法相结合得到的方法,它们分别为RKM-ADM分解方法和RKM-HPM分解方法,并利用算例讨论了方法的可行性.第四章为总结和展望.总结了本文研究的主要工作与成果,对下一步的研究工作提出了改进性的建议,并做出了进一步的研究展望.
张建龙[5]（2011）在《常微分方程教学改革的探索》文中提出常微分方程是众多学科必修课程之一,其每一次教学内容、教学手段、教学思维及教学方法上的改革都对学生该课程的学习及后期其他专业技能的课程产生重要的影响和作用,笔者结合自身的教学工作,就常微分课程的教学改革方面的问题谈谈自己的认识和经验。
李培超,李培伦,黎波,葛良燕[6]（2011）在《一类二阶常系数非齐次线性微分方程及边值问题的解法》文中提出利用非齐次方程通解方法和Green函数法给出了非齐次项为点源函数的二阶常系数线性常微分方程及边值问题的求解方法和公式.然后以渗流力学一类具体问题为例进行了论证.结果表明这两种方法在本质上是一致的,所得到的结果是相互吻合的.该点源解可用于分析相关边值问题,并可用来求解具有一般非齐次项的微分方程及相关定解问题.
李大林[7]（2007）在《用无限阶Toeplitz矩阵求常系数微分方程的级数解》文中指出无限阶Toeplitz矩阵的属于0的特征向量可递推地求得,可表示常系数齐次微分方程的解.用它的逆可求得常系数非齐次微分方程的特解.
化存才[8]（2006）在《线性常微分方程(组)的算子方法介绍及其研究展望》文中研究表明综述了线性微分方程（组）的算子方法,侧重地介绍了作者所发展的一系列方法和重要的结果与解公式.提出了算子方法研究的几点展望.
徐淑范,董治平[9]（2004）在《微分方程的新解法——微分算子级数法》文中认为本文介绍了微分方程的一种新解法--微分算子级数法。读者将从中体会到这种新解题方法的快速、准确、简捷、灵活和有效的优越性及普遍适用性,进而学习此方法并在教学中使用它。
周展宏[10]（2004）在《求常系数线性非齐次微分方程特解的微分算子级数法》文中研究指明介绍一种简单、快速的求常系数线性非齐次微分方程特解的方法———微分算子级数法。并介绍其原理、公式和实例
二、逆微分算子的分解与常系数高阶线性微分方程的求解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、逆微分算子的分解与常系数高阶线性微分方程的求解（论文提纲范文）
（1）求解偏微分方程的神经网络方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 PINN |
| 1.3 相关工作 |
| 1.3.1 物理知情的机器学习:传统模型 |
| 1.3.2 物理知情的神经网络:模型 |
| 1.3.3 物理知情的神经网络:应用 |
| 1.3.4 高维偏微分方程的求解 |
| 1.3.5 偏微分方程的反问题&深度学习 |
| 1.4 研究内容 |
| 1.5 本文组织结构 |
| 第2章 物理知情的神经网络的精度一致问题 |
| 2.1 奇异子域与精度一致问题 |
| 2.2 DSP框架 |
| 2.2.1 DSP框架的基本思想 |
| 2.2.2 DSP框架的基本流程 |
| 2.2.3 区域分解阶段(D阶段) |
| 2.2.4 搜索奇异子域阶段(S阶段) |
| 2.2.5 预测阶段(P阶段) |
| 2.3 PIGAN算法 |
| 2.4 带有高精度标签的有限离散点 |
| 2.5 实验分析 |
| 2.5.1 基准方法和性能指标 |
| 2.5.2 实验配置 |
| 2.5.3 实验方程 |
| 2.5.4 Poisson方程 |
| 2.5.5 Helmholtz方程 |
| 2.5.6 Eikonal方程 |
| 2.6 DSP框架的局限性 |
| 2.7 本章小结 |
| 第3章 多网策略 |
| 3.1 单网策略与多网策略的定义及多网策略下的损失函数 |
| 3.1.1 单网策略的定义 |
| 3.1.2 多网策略的定义 |
| 3.1.3 多网策略下的损失函数 |
| 3.2 单网策略与多网策略的时间复杂度分析 |
| 3.2.1 单网策略的时间复杂度 |
| 3.2.2 多网策略的时间复杂度 |
| 3.2.3 时间复杂度分析 |
| 3.2.4 一个例子 |
| 3.3 实验分析 |
| 3.3.1 基准方法和性能指标 |
| 3.3.2 实验方程 |
| 3.3.3 实验配置 |
| 3.3.4 实验结果及分析 |
| 3.4 多网策略下的模型选择 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 考虑了时空依赖性的物理知情的神经网络模型:TD-Net |
| 4.1 偏微分方程的求解与时空间依赖性 |
| 4.2 TD-Net |
| 4.2.1 时间离散化 |
| 4.2.2 数据预处理 |
| 4.2.3 多网策略 |
| 4.2.4 预测器 |
| 4.2.5 损失函数 |
| 4.2.6 时间复杂度 |
| 4.2.7 其他细节 |
| 4.3 实验分析 |
| 4.3.1 基准方法和性能指标 |
| 4.3.2 实验方程 |
| 4.3.3 实验配置 |
| 4.3.4 Burgers方程 |
| 4.3.5 对流扩散方程 |
| 4.3.6 Kdv方程 |
| 4.3.7 Allen-Cahn方程 |
| 4.3.8 分数阶偏微分方程 |
| 4.4 TD-Net的局限性 |
| 4.4.1 TD-Net的适用范围 |
| 4.4.2 光滑性限制 |
| 4.4.3 推断性能 |
| 4.4.4 长时虚弱问题 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 总结与展望 |
| 5.1 本文总结 |
| 5.2 未来展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（2）中美高中资优生的数学课程设置的比较研究 ——以北京A、B两校和美国托马斯·杰弗逊科学技术高中为例（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引论 |
| 第一节 研究背景 |
| 第二节 概念界定 |
| 一、高中 |
| 二、资优 |
| 三、资优生 |
| 四、数学课程设置 |
| 第二章 中美两国研究综述 |
| 第一节 美国相关研究综述 |
| 第二节 我国相关研究综述 |
| 第三节 研究内容与方法 |
| 第三章 中美两国资优教育发展 |
| 第一节 美国资优教育的发展 |
| 一、关于资优教育理论的发展 |
| 二、关于资优教育的实践 |
| 三、关于资优教育的政策 |
| 第二节 我国资优教育的发展 |
| 第四章 中美高中资优生的数学课程设置的比较研究 |
| 第一节 比较案例的选择 |
| 第二节 数学课程设置的比较 |
| 一、数学必修课程和选修课程设置的比较 |
| 二、国际课程的比较 |
| 三、课程框架和体系的比较 |
| 四、研究活动和特色课程的比较 |
| 第五章 结论和建议 |
| 第一节 结论 |
| 第二节 建议 |
| 参考文献 |
| 后记（致谢） |
（4）再生核方法与其他两种数值方法的结合研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 ADM分解方法发展综述 |
| 1.2 RKM方法的产生与发展现状 |
| 1.3 HPM方法的产生与研究现状 |
| 1.4 本文研究的主要内容 |
| 第二章 三种数值方法简介 |
| 2.1 ADM分解方法 |
| 2.1.1 ADM分解法提出的基本思想 |
| 2.1.2 ADM分解方法的基本原理 |
| 2.1.3 ADM多项式的基本算法 |
| 2.1.4 一种改进的ADM分解方法 |
| 2.1.5 小结 |
| 2.2 RKM方法基本理论 |
| 2.3 HPM方法基本理论 |
| 2.3.1 HPM方法的思想和概念 |
| 2.3.2 HPM方法的基本方法 |
| 2.4 数值算例 |
| 第三章 RKM方法与两种方法的结合 |
| 3.1 RKM-ADM分解方法 |
| 3.2 RKM-HPM分解方法 |
| 3.3 数值算例 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 总结与展望 |
| 4.1 工作总结 |
| 4.2 进一步工作的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间研究成果 |
（10）求常系数线性非齐次微分方程特解的微分算子级数法（论文提纲范文）
| 1.引言 |
| 2.解法的准备知识 |
| 3.用公式 (6) 求方程特解举例 |
| 4.小结 |
四、逆微分算子的分解与常系数高阶线性微分方程的求解（论文参考文献）
- [1]求解偏微分方程的神经网络方法[D]. 王昀卓. 中国科学技术大学, 2021(08)
- [2]中美高中资优生的数学课程设置的比较研究 ——以北京A、B两校和美国托马斯·杰弗逊科学技术高中为例[D]. 李坤婷. 中央民族大学, 2020(01)
- [3]求一类非齐次微分方程特解的待定算子法[J]. 戴中林. 大学数学, 2016(01)
- [4]再生核方法与其他两种数值方法的结合研究[D]. 鲁帅. 内蒙古工业大学, 2014(04)
- [5]常微分方程教学改革的探索[J]. 张建龙. 才智, 2011(16)
- [6]一类二阶常系数非齐次线性微分方程及边值问题的解法[J]. 李培超,李培伦,黎波,葛良燕. 数学的实践与认识, 2011(03)
- [7]用无限阶Toeplitz矩阵求常系数微分方程的级数解[J]. 李大林. 大学数学, 2007(03)
- [8]线性常微分方程(组)的算子方法介绍及其研究展望[J]. 化存才. 数学的实践与认识, 2006(06)
- [9]微分方程的新解法——微分算子级数法[J]. 徐淑范,董治平. 重庆职业技术学院学报, 2004(03)
- [10]求常系数线性非齐次微分方程特解的微分算子级数法[J]. 周展宏. 高等数学研究, 2004(03)